朋友们，如果你对协方差矩阵和协方差矩阵 是什么不是很熟悉，那么你来对了地方。今天我将和大家分享一些关于协方差矩阵和协方差矩阵 是什么的知识，希望能够帮助大家更好地理解这个话题。

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协方差矩阵

在统计学上，协方差用来刻画两个随机变量之间的相关性，反映的是变量之间的二阶统计特性，两个随机变量Xi和Yj的协方差定义为

所以

是一个矩阵，其i,j位置的元素是第i个与第j个随机向量（即随机变量构成的向量）之间的协方差。
设X1，X2，...,Xn为一组随机变量，记X=(X1，X2，...,Xn)T为由这n个随机变量构成的随机向量，假设每个随机变量有m个样本，将所有的样本拼接在一起可以得到如下的样本矩阵

协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。因此样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。但是peghoty博客中用的是矩阵第i行元素表示第i个随机变量Xi的m个样本，所以以下分析暂时用的peghoty的方案。

引入向量αi和βi

αi是样本矩阵的行向量，βi是样本矩阵的列向量，所以样本矩阵表示为

对于n维的随机变量X=(X1,X2,…,Xn)T的协方差矩阵定义为

协方差矩阵中的对角线元素表示方差，非对角线元素表示随机向量X的不同随机量之间的协方差，因此协方差矩阵可以作为刻画不同分量之间相关性的一个评判量，不同分量之间的相关性越小，则C的非对角线元素的值就越小，特别地，如果不同分量彼此不相关，那么C就变成一个对角阵。
注意：我们并不能得到协方差矩阵C的真实性，只能根据所提供的X的样本数据，对其进行近似估计，因此，这样计算得到的协方差矩阵是依赖于样本数据的，通常提供的样本数目越多（m越大），样本在总体中的覆盖面就越广，所得协方差矩阵就越可靠。

**协方差公式推导

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协方差矩阵? 是什么?

定义是变量向量减去均值向量,然后乘以变量向量减去均值向量的转置再求均值.例如x是变量,μ是均值,协方差矩阵等于E[(x-μ)(x-μ)^t],物理意义是这样的,例如x=（x1,x2,...,xi）那么协方差矩阵的第m行n列的数为xm与xn的协方差,若m=n,则是xn的方差.如果x的元素之间是独立的,那么协方差矩阵只有对角线是有值,因为x独立的话对于m≠n的情况xm与xn的协方差为0.另外协方差矩阵是对称的.
一般多变量分布的时候（例如多元高斯分布）会用到协方差矩阵,工程上协方差矩阵也用来分析非确定性平稳信号的性质以及定义非确定性向量的距离（马哈拉诺比斯范数）.

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